2013年3月27日水曜日

1^2+2^2+3^2+…+n^2は幾らか.など

先一昨日,以下のようなツイートをしました.
このツイートがかなり伸びて2000以上のRT,FAVを頂きました.
ここまで拡散されるのは初めてで驚きでした.


PDF版をこちらに上げました.
http://dl.dropbox.com/u/107238704/Sum_of_SqareNumbers.pdf

解説
これは

のようにして求める手法を参考にして考えました.
正方形を2つの3角形に分割するイメージです.
これを拡張すると立方体を3つの4角錐に区切ることになって以下のようになります.

この形に近似するには底面の辺の長さがn,高さ1の直方体を積み重ねれば良くてこのようになります.
しかし,3つ組み合わせても直方体にならなくて少しはみ出してしまいます.
そこでこのようにして
2組貼り合わせてあげればきれいな直方体になってそれぞれの辺の長さから求まります.
よって
が示されます.

3乗では
となります. これは4次元空間上で立方体を重ねてできる超4角錐(底体が立方体で超高さが立方体の辺の長さに等しい)を4つ組み合わせるとはみ出さずに4次元超直方体(辺の長さはn,n,n+1,n+1)ができることを示しています. 普通に3次元空間上でも図示することも出来ますが.

4乗では
5乗では
となるので図示するの結構大変そうです.
(求めるの結構たいへんでした.)


Twitterでたくさん拡散されて他の証明方法などを教えて頂けました.
因みに僕の思いついた視覚化は既出だったようです. (当然か)

Proof of the Sum of Square Numbers
http://mathandmultimedia.com/2012/05/27/proof-of-the-sum-of-square-numbers/
はみ出した部分を半分に切って埋めています.

【図形あそび】切り・貼り・重ねて 箱数え
http://pageapps.mixi.jp/diary/view_diary.pl?page_id=50830&module_id=266516&diary_id=16990
別の切り貼りの仕方で実現しています.

別の方法での証明(きゅうり氏)
https://twitter.com/kyuridenamida/status/315806128040706049
3角形を転がして和をとって求めています.

和の公式へのアプローチ
http://izumi-math.jp/S_Yoshida/wa/wa.pdf
色々のアプローチがあって僕の証明と完全に同じものも載っています.殆ど網羅している感じでとても参考になります.

平方数の和、立方数の和の視覚化-冬の数学日記
http://d.hatena.ne.jp/Wagomu/20130325/1364188085
@fuyu_atsusugiさんが僕のツイートを受けて別な証明を示してくれました!

Σk^2,Σk^3 の公式の模型
http://www.h6.dion.ne.jp/~ooya/Suugaku/index.html
@takemathさんの視覚化の模型は素晴らしかったです. n項までの和に対してのn+1項まで和の増分がどれ程か分かり易いのが良いです. gifとかも作りました. 下の方にあります.

ではでは.


2013/04/16更新
実際にこの模型を作ってみました.
http://makebooth.com/i/EsgYB

2014/03/09更新
POV-Rayでgifアニメ作りました.

http://hyrodium.tumblr.com/post/77595658481/the-proof-of-sum-of-square-numbers

2014/04/03更新
tumblrの方の投稿
http://hyrodium.tumblr.com/post/77595658481/the-proof-of-sum-of-square-numbers
がめっちゃlike,reblogされて2000notesを超えました.すごい.海外でもあまり知られてなかったみたいですね.
僕の投稿を見てJennifer Silvermanさんが実際に木で模型を作ってくれました.
http://jensilverman.tumblr.com/post/80916779079/sum-of-the-squares-demo
https://www.youtube.com/watch?v=g12VwZIstCs

2015/02/15更新
@takemathさんによる視覚化の動画作成&リンク追加
http://hyrodium.tumblr.com/post/109000595139/i-made-gif-animations-of-sum-of-square-numbers

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